$X_n \sim \operatorname{Bin}(n,p_n)$, $p_n \to 0$ ve $np_n \to \lambda>0$ olsun.
Her sabit $k \ge 0$ için $\mathbb{P}(X_n=k) \to e^{-\lambda}\lambda^k/k!$ olduğunu doğrudan olasılık kütle fonksiyonundan kanıtlayın. Yaklaşımın pratikte hangi tür olaylar için anlamlı olduğunu açıklayın.
Sabit $k$ için
$$\mathbb{P}(X_n=k)=\binom{n}{k}p_n^k(1-p_n)^{n-k}.$$
$\binom{n}{k}p_n^k = \frac{n(n-1)\cdots(n-k+1)}{k!}p_n^k \to \lambda^k/k!$ olur. Ayrıca $(1-p_n)^n \to e^{-\lambda}$ ve $(1-p_n)^{-k} \to 1$. Çarpınca istenen limit elde edilir.
Bu yaklaşım, çok sayıda bağımsız denemede her bir olayın nadir olduğu; fakat beklenen toplam olay sayısının sonlu kaldığı durumlarda kullanışlıdır.
Cevap yazmak için giriş yapmalısınız.
