Soru. $K \subset \mathbb{R}^n$ kapalı ve sınırlı olsun. $K$ içinde seçilen her $(x_k)$ dizisinin, limiti yine $K$ içinde kalan yakınsak bir alt dizisi olduğunu kanıtlayın.
Çözümde hangi adımda sınırlılık, hangi adımda kapalılık kullanılır? Sonucun sonsuz boyutlu normlu uzaylarda neden doğrudan geçerli olmadığını da kısaca tartışın.
Sınırlılık nedeniyle $(x_k)$ dizisi $\mathbb{R}^n$ içinde sınırlıdır. Bolzano–Weierstrass teoremi, $(x_{k_j})$ biçiminde yakınsak bir alt dizi verir; $x_{k_j} \to x$ olsun.
Her $x_{k_j}$ elemanı $K$ içindedir. $K$ kapalı olduğundan bütün yakınsak dizilerin limitlerini içerir; dolayısıyla $x \in K$ olur. Sınırlılık alt dizinin varlığını, kapalılık ise limitin kümede kalmasını sağlar.
Sonsuz boyutlu uzaylarda kapalı ve sınırlı kümeler her zaman kompakt değildir. Örneğin $\ell^2$ uzayındaki standart birim vektörler dizisinin yakınsak alt dizisi yoktur.
Cevap yazmak için giriş yapmalısınız.
