\(A=\{-1,0,1\}\) kümesinin kuvvet kümesi \(\mathcal P(A)\) üzerinde verilen
$$
T(X)=\left|\sum x_i\right|
$$
ve
$$
f(X)=n(X)-T(X)
$$
tanımlarına göre tüm alt kümelerin aldığı değerler şunlardır:
$$
f(\emptyset)=0-|0|=0
$$
$$
f(\{-1\})=1-|-1|=0
$$
$$
f(\{1\})=1-|1|=0
$$
$$
f(\{0\})=1-|0|=1
$$
$$
f(\{-1,0\})=2-|-1+0|=1
$$
$$
f(\{0,1\})=2-|0+1|=1
$$
$$
f(\{-1,1\})=2-|-1+1|=2
$$
$$
f(\{-1,0,1\})=3-|-1+0+1|=3
$$
a) Denklik Bağıntısı ve Sınıfları
Verilen
$$
X\sim Y
\iff
f(X)=f(Y)
$$
bağıntısı doğrudan eşitlik üzerine kurulu olduğu için bir denklik bağıntısıdır.
Yansıma: Her \(X\in\mathcal P(A)\) için \(f(X)=f(X)\) olduğundan \(X\sim X\) sağlanır.
Simetri: \(X\sim Y\Rightarrow f(X)=f(Y)\) olur. Eşitliğin simetrisinden \(f(Y)=f(X)\) yazılabilir, bu da \(Y\sim X\) demektir.
Geçişme: \(X\sim Y\) ve \(Y\sim Z\Rightarrow f(X)=f(Y)\) ve \(f(Y)=f(Z)\) olur. Buradan \(f(X)=f(Z)\) elde edilir, yani \(X\sim Z\) bulunur.
Bulunan \(f(X)\) değerlerine göre \(\mathcal P(A)\) üzerindeki dört farklı denklik sınıfı şu şekildedir:
$$
[\emptyset]
=
\{\emptyset,\{-1\},\{1\}\}
$$
$$
[\{0\}]
=
\{\{0\},\{-1,0\},\{0,1\}\}
$$
$$
[\{-1,1\}]
=
\{\{-1,1\}\}
$$
$$
[\{-1,0,1\}]
=
\{\{-1,0,1\}\}
$$
b) İyi Tanımlılık Kontrolü
$$
[X]\star[Y]=[X\triangle Y]
$$
işleminin iyi tanımlı olabilmesi için, aynı denklik sınıflarından seçilen farklı temsilcilerin aynı sonuç sınıfını vermesi gerekir.
Özellikle etkisiz elemanı içeren \([\emptyset]\) sınıfındaki elemanları ele alalım.
\([\emptyset]\) sınıfından \(\{-1\}\) ve \(\{1\}\) elemanlarını seçtiğimizde
$$
\{-1\}\triangle\{1\}
=
\{-1,1\}
$$
sonucunu elde ederiz.
Diğer taraftan
$$
\emptyset\triangle\emptyset
=
\emptyset.
$$
Ancak
$$
\{-1,1\}\not\sim\emptyset,
$$
çünkü
$$
f(\{-1,1\})=2
$$
iken
$$
f(\emptyset)=0.
$$
Dolayısıyla işlem, sınıflardan hangi temsilcinin seçildiğine bağlı olarak farklı sonuçlar vermektedir.
Bu nedenle
$$
[X]\star[Y]=[X\triangle Y]
$$
işlemi \(\mathcal P(A)/{\sim}\) üzerinde iyi tanımlı bir ikili işlem vermez.
c) En Küçük Grup Kongrüansı
İşlem iyi tanımlı olmadığı için, eşdeğer kabul edilen elemanların simetrik farklarını içeren en küçük normal alt grubu \(H\) inşa etmemiz gerekir.
Aynı sınıftaki elemanların simetrik farklarını aldığımızda, örneğin
$$
\{-1\}\triangle\{1\}
=
\{-1,1\}
$$
ve
$$
\{-1\}\triangle\emptyset
=
\{-1\}
$$
elde edilir.
Bunların \(\triangle\) işlemine göre oluşturduğu en küçük alt grup
$$
H
=
\{
\emptyset,
\{-1\},
\{1\},
\{-1,1\}
\}
$$
şeklindedir.
Grup değişmeli olduğundan \(H\) aynı zamanda normal bir alt gruptur.
Aradığımız en küçük grup kongrüansı, doğrudan bu alt grup üzerinden
$$
X\equiv Y\pmod H
\iff
X\triangle Y\in H
$$
şeklinde tanımlanır.
d) Bölüm Grubunun İzomorfizması
Kongrüansa göre oluşan yeni bölüm grubu
$$
\mathcal P(A)/H
$$
olur.
Lagrange Teoremi kullanılarak bölüm grubunun eleman sayısı hesaplandığında
$$
\left|\mathcal P(A)/H\right|
=
\frac{|\mathcal P(A)|}{|H|}
=
\frac{8}{4}
=
2
$$
bulunur.
Eleman sayısı \(2\) olan izomorfizmaya kadar tek bir grup yapısı vardır.
Bu nedenle elde edilen bölüm grubu, ikinci mertebeden devirli grup olan
$$
\boxed{\mathbb Z_2}
$$
grubuna izomorftur.
