\(\Phi:\mathbb{C}\to\mathbb{C}\) sürekli bir fonksiyon olsun ve her üçgensel bölge \(T\subset\mathbb{C}\) için
$$ \oint_{\partial T}\Phi(z)\,dz=0 $$
koşulunu sağlasın.
Ayrıca pozitif yönde yönlendirilmiş
$$ \Gamma = \left\{ z\in\mathbb{C}:|z|=2 \right\} $$
kapalı eğrisi verilsin.
\(x\in\mathbb{R}\) için
$$ F(x) = x+ \frac{1}{2\pi i} \oint_{\Gamma} \Phi(z)\,dz $$
ve
$$ A(x) = \begin{pmatrix} \cosh(x) & \sinh(x)\\ \sinh(x) & \cosh(x) \end{pmatrix} $$
olmak üzere
$$ G(x) = \operatorname{tr} \left( A(x)^{T}A(x) \right) - \left[ \operatorname{tr}(A(x)) \right]^2 + 4x+3 $$
şeklinde tanımlansın.
Bunun yanında
$$ H(x) = \int_0^x \frac{2t}{1+t^2}\,dt - \ln(1+x^2) + x $$
ve
$$ P(x) = \left[ \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} - \cos(x) + x \right]^2 $$
olsun.
Buna göre
$$ \left( P\circ H\circ G\circ F \right) \left( \ln \left[ e^{ \operatorname{sech}^2(u)+\tanh^2(u) } \right] \right) $$
ifadesinin değerini bulunuz.
Bu soru, serinin final sorusu olarak kompleks analiz, matris işlemleri, hiperbolik fonksiyonlar, integral ve sonsuz serileri tek bir bileşke içerisinde bir araya getirmektedir.
İlk bakışta bütün ifadelerin doğrudan hesaplanması gerekiyormuş gibi görünse de çözümün temelinde uygun teorem ve özdeşlikleri doğru yerde kullanmak yatmaktadır.
