Klasik Bir Limit Problemi

@ahd Bu çözüm yorucu

$$ \text{SORU: } \lim_{x\to 0} \dfrac{\sin^2(3x)}{5x^2} \text{ limitinin sonucunu bulunuz.} $$$$ \text{Çözüm:} $$$$ \text{Limit değerini yerine koyduğumuzda } \frac{0}{0} \text{ belirsizliği oluşur:} $$$$ \frac{\sin^2 0}{0} = \frac{0}{0} $$$$ \text{İfadeyi çarpanlarına ayırarak limit kurallarını uygulayalım:} $$$$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{5x} \cdot \lim_{x\to 0} \frac{\sin 3x}{x} $$$$ \text{Bilinen limit kuralına göre } \left( \lim_{x\to 0} \frac{\sin ax}{bx} = \frac{a}{b} \right): $$$$ \frac{3}{5} \cdot 3 = \frac{9}{5} $$$$ \text{Sonuç:} $$$$ \mathbf{\frac{9}{5}} $$

Limit değerini yerine koyduğumuzda $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. L'Hospital kuralı gereği pay ve paydanın ayrı ayrı türevini alalım:

$$ \begin{aligned} \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2(3x)}{5x^2} &= \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[\sin^2(3x)]}{\frac{d}{dx}[5x^2]} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{2\sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3}{10x} \\ &= \lim_{x \to 0} \frac{6\sin(3x)\cos(3x)}{10x} \end{aligned} $$

Trigonometrik yarım açı formülünü kullanarak pay kısmını daha kolay türev alabilmek adına sadeleştirelim:

$$ \begin{aligned} = \lim_{x \to 0} \frac{3\sin(6x)}{10x} \end{aligned} $$

Limit değerini tekrar koyduğumuzda hâlâ $\frac{0}{0}$ belirsizliği olduğu görülmektedir. Bir kez daha L'Hospital kuralını (türev) uygulayalım:

$$ \begin{aligned} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}[3\sin(6x)]}{\frac{d}{dx}[10x]} &= \lim_{x \to 0} \frac{18\cos(6x)}{10} \end{aligned} $$

Artık belirsizlik ortadan kalktı. $x = 0$ değerini yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz:

$$ \begin{aligned} = \frac{18\cos(0)}{10} &= \frac{18 \cdot 1}{10} \\ &= \frac{18}{10} \\ &= \frac{9}{5} \end{aligned} $$

Limit değerini yerine koyduğumuzda $\frac{0}{0}$ belirsizliği oluşur. L'Hospital kuralı gereği pay ve paydanın ayrı ayrı türevini alalım:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{(\sin^2(3x))'}{(5x^2)'} $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \sin(3x) \cdot \cos(3x) \cdot 3}{10x} $$

İfadeyi toparlayalım:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{6 \sin(3x) \cos(3x)}{10x} $$

Yarım açı formülünü kullanarak pay kısmını daha kolay türev alabilmek için sadeleştirelim:

$$ \lim_{x \to 0} \frac{3 \sin(6x)}{10x} $$

Limit değerini tekrar koyduğumuzda hâlâ $\frac{0}{0}$ belirsizliği olduğu görülmektedir. Bir kez daha L'Hospital kuralını uygulayalım (pay ve paydanın tekrar türevini alalım):

$$ \lim_{x \to 0} \frac{(3 \sin(6x))'}{(10x)'} $$

$$ \lim_{x \to 0} \frac{18 \cos(6x)}{10} $$

Artık belirsizlik ortadan kalktı. $x = 0$ değerini yerine koyarak limiti hesaplayabiliriz:

$$ \frac{18 \cos(0)}{10} = \frac{18 \cdot 1}{10} = \frac{18}{10} = \frac{9}{5} $$