\(a>-2\) için
$$ D_a = \left\{ (u,v)\in\mathbb{R}^2: \frac{u^2}{(a+2)^2} + \frac{v^2}{(a+3)^2} \leq 1 \right\} $$
bölgesi ve bu bölgenin pozitif yönde yönlendirilmiş sınırı
$$ C_a=\partial D_a $$
olsun.
Aşağıdaki fonksiyon
$$ \begin{aligned} f(a) ={}& \oint_{C_a} \left( u^2v+e^u\cos v \right)\,du \\ &+ \oint_{C_a} \left( uv^2+e^u\sin v \right)\,dv \\[4pt] &- \iint_{D_a} \left( v^2-u^2+2e^u\sin v \right)\,du\,dv + 2a+1 \end{aligned} $$
şeklinde tanımlansın.
Ayrıca
$$ g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} - \cos x + x^2+1, $$
ve
$$ h(x) = \sqrt{x+15} $$
olsun.
Buna göre
$$ \left( h\circ g\circ f \right) \left( \ln \left[ e^{\mathrm{sech}^2(t)+\tanh^2(t)} \right] \right) $$
ifadesinin değerini bulunuz.
Bu soru, kapalı eğri integralleri ile çift katlı integraller arasındaki ilişkinin fark edilmesine dayanmaktadır.
İlk bakışta elips üzerinde iki eğri integrali ve eliptik bir bölge üzerinde çift katlı integral hesaplamak gerekiyormuş gibi görünse de, uygun teoremin kullanılması işlemleri büyük ölçüde ortadan kaldırmaktadır.
