\(x>0\) için Euler tipi diferansiyel operatörü
$$ \Theta = x\frac{d}{dx} $$
şeklinde tanımlansın. Ayrıca
$$ \Theta^2=\Theta\circ\Theta $$
olsun.
Aşağıdaki fonksiyonlar, gerekli tanım koşullarını sağlayan uygun aralıklarda tanımlı ve süreklidir:
$$ f(x) = \det \begin{pmatrix} \cosh(\ln x) & \sinh(\ln x) & \ln x \\[4pt] \Theta\!\left[\cosh(\ln x)\right] & \Theta\!\left[\sinh(\ln x)\right] & \Theta[\ln x] \\[4pt] \Theta^2\!\left[\cosh(\ln x)\right] & \Theta^2\!\left[\sinh(\ln x)\right] & \Theta^2[\ln x] \end{pmatrix}, $$
$$ g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n}}{(2n)!} - \cos(x) + 3x+1, $$
$$ h(x) = \int_0^x \frac{2t}{1+t^2}\,dt - \ln(1+x^2) + 2x, $$
ve
$$ p(x) = \sqrt{ x+\binom{6}{2}+2 }. $$
Buna göre
$$ \left( p\circ h\circ g\circ f \right) \left( \exp \left[ -\left( \mathrm{sech}^2(u) + \tanh^2(u) \right) \right] \right) $$
ifadesinin değerini bulunuz.
Bu soruda amaç, determinantı doğrudan uzun uzun açmak veya bütün fonksiyonların genel davranışını incelemek değildir. Tanımlanan operatörün verilen fonksiyonlar üzerindeki etkisini, standart hiperbolik özdeşlikleri ve bilinen seri açılımlarını doğru sırayla kullanmak yeterlidir.
