Göründüğü Kadar Zor Değil- 21

Aşağıdaki fonksiyonlar, gerekli tanım koşullarını sağlayan uygun aralıklarda tanımlı, sürekli ve gerektiği yerlerde birebirdir:

$$ f(x) = \int_0^x \frac{2t}{1+t^2}\,dt - \ln(1+x^2) + 2x+1, $$

$$ g(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} - e^x + x-1, $$

$$ h'(x) = \frac{1}{1+x^2} + \sec^2(x) - \tan^2(x) - 1, \qquad h^{-1}(7)=2, $$

$$ t(x) = \sqrt{ x+\binom{4}{2}+3 }. $$

Buna göre

$$ \left( t\circ h\circ g\circ f \right) \left( \operatorname{sech}^2(u)+\tanh^2(u) \right) $$

ifadesinin değerini bulunuz.

İlk bakışta integral, sonsuz seri, türev, ters fonksiyon ve hiperbolik fonksiyonların birlikte hesaplanması gerekiyormuş gibi görünse de çözümün temelinde bazı standart özdeşliklerin ve verilen özel bilgilerin doğru sırayla kullanılması yatmaktadır.

Amaç bütün fonksiyonların genel ifadelerini bulmak değil, bileşke boyunca yalnızca gerçekten gerekli olan değerleri hesaplamaktır.

1 Cevap

Kabul Edilen Cevap

$$f\left(\frac{1}{\cosh^2 u} + \frac{\sinh^2 u}{\cosh^2 u}\right) = f\left(\frac{\cosh^2 u}{\cosh^2 u}\right) = f(1)$$

$$f(1) = \int_0^1 \frac{2t}{1+t^2}\, dt \Rightarrow 1+t^2 = u, \quad 2t\, dt = du$$

$$\int_0^1 \frac{du}{u} = \ln|u| \Rightarrow \ln(1+t^2)\Big|_0^1 = \ln 2$$

$$f(1) = \ln 2 - \ln 2 + 2 + 1 = 3$$

$$g(3) = e^3 - e^3 + 3 - 1 = 2$$

$$h^{-1}(7) = 2, \quad h(2) = 7$$

$$t(7) = \sqrt{7 + \frac{4 \cdot 3}{2 \cdot 1} + 3} = \sqrt{7 + 6 + 3} = \sqrt{16} = 4$$

Çözüme katkı ver

Cevabını açık ve gerekçeli yaz.

Cevap yazmak için giriş yapmalısınız.