Göründüğü Kadar Zor Değil- 15

\begin{align*} h(x) &= \log_{\log_4(64)} \left(3^{\sqrt{\ln(e^x)}}\right) \cdot \tan[\arcsin(\cos 45^\circ)] \\ \log_4(64) &= 3 \\ \ln(e^x) &= x \implies 3^{\sqrt{\ln(e^x)}} = 3^{\sqrt{x}} \\ \log_3(3^{\sqrt{x}}) &= \sqrt{x} \end{align*}

Trigonometrik kısım için: \begin{align*} \cos 45^\circ &= \frac{\sqrt{2}}{2} \\ \arcsin\left(\frac{\sqrt{2}}{2}\right) &= 45^\circ \\ \tan(45^\circ) &= 1 \end{align*}

Bu durumda $h(x) = \sqrt{x} \cdot 1 = \sqrt{x}$ olur. $x = e^2$ için: \[ h(e^2) = \sqrt{e^2} = e \]

$f(e)$ Değerinin Bulunması

\begin{align*} f(x) &= \left[ \sin(2x) + (\sin x + \cos x)^2 - 4 \sin x \cos x \right] \log_x(e^{\sqrt[3]{64}}) \\ (\sin x + \cos x)^2 &= \sin^2 x + \cos^2 x + 2 \sin x \cos x = 1 + \sin(2x) \\ 4 \sin x \cos x &= 2 \sin(2x) \end{align*}

Köşeli parantez içi: \[ \sin(2x) + 1 + \sin(2x) - 2 \sin(2x) = 1 \]

Logaritmik kısım: \[ \log_x(e^{\sqrt[3]{64}}) = \log_x(e^4) = 4\log_x(e) \]

Bu durumda $f(x) = 1 \cdot 4\log_x(e) = 4\log_x(e)$ olur. Bir önceki adımdan elde edilen $x = e$ değeri yerine konulursa: \[ f(e) = 4\log_e(e) = 4 \cdot 1 = 4 \]

$g(4)$ Değerinin Bulunması Önceki adımlardan gelen $x = 4$ değeri denklemde yerine yazılır: \[ g(x) = \log_{10!} \left(\frac{x}{4} \cdot 6! \cdot 7!\right) + \sqrt[2x]{2 + \frac{1}{\cot^2 x} - \sec^2 x} + 960 \]

\[ \frac{4}{4} \cdot 6! \cdot 7! = 720 \cdot 7! = 10 \cdot 9 \cdot 8 \cdot 7! = 10! \] Logaritmik kısım: $\log_{10!}(10!) = 1$.

\begin{align*} \frac{1}{\cot^2 x} &= \tan^2 x \\ \tan^2 x - \sec^2 x &= -1 \quad \\ 2 + \tan^2 x - \sec^2 x &= 2 - 1 = 1 \\ \sqrt[8]{1} = 1 \end{align*}

\[ g(4) = 1 + 1 + 960 = 962 \]

\[ (g \circ f \circ h)(e^2) = 962 \]