Göründüğü Kadar Zor Değil -14

$$

\begin{aligned}

g(x) &= \int_0^{2\pi} (\sin t + \cos t) dt = \left( -\cos t + \sin t \right) \Big|_0^{2\pi} \\

&= (-1 + 0) - (-1 + 0) = 0

\end{aligned}

$$

Ayrıca hiperbolik ifadenin sadeleşmesi sonucu $0$ elde ediliyor:

$$ 4\cosh^3(x) - 3\cosh(x) - 4\cosh^3(x) + 3\cosh(x) = 0 $$

Sonuç olarak fonksiyon her $x$ değeri için $0$'a eşittir. Bu yüzden içerideki karmaşık ifadenin bir önemi kalmaz:

$$ g(x) = 0 \implies g\big(\ln[\ln(\arctan e)]\big) = 0 $$

$h(0)$ için ifadeler yerine konduğunda:

$$ h(0) = \pi \left[ \underbrace{\cosh(0)}_{1} + \underbrace{\sinh(0)}_{0} \right] + 2 \underbrace{\sqrt{\frac{\cosh(0)-1}{2}}}_{0} \cdot \underbrace{\cos(0)}_{1} $$

Buradan sonuç doğrudan bulunur:

$$ h(0) = \pi $$

Limit ifadesinde $t \to x$ iken $\frac{0}{0}$ belirsizliği ortaya çıkar. L'Hôpital kuralı ve İntegralin Türevi (Leibniz kuralı) uygulanır:

$$ f(x) = \lim_{t \to x} \frac{\int_x^t \frac{\cos^2 \theta}{\theta^2} d\theta}{t - x} = \left( \frac{0}{0} \right) $$

Türev alındıktan sonra limit değerlendirilir:

$$ \lim_{t \to x} \frac{\frac{\cos^2 t}{t^2}}{1} = \frac{\cos^2 x}{x^2} $$

Bulunan bu $f(x)$ ifadesi (veya asıl sorudaki bileşke ifade) kullanılarak son hesaplama yapılır:

$$ f(\pi) = \sqrt{\frac{\cos^2(\pi)}{\pi^2}} + \frac{1}{\pi} = \frac{1}{\pi} + \frac{1}{\pi} = \frac{2}{\pi} $$