1. Kısım: $h(1)$ Değerinin Bulunması ve İç İfadenin Sadeleştirilmesi
$$
\begin{aligned}
\operatorname{arccosh} x &= y \implies \cosh y = x \\
\cosh^2 y - \sinh^2 y &= 1 \\
\sinh^2 y &= \cosh^2 y - 1 \\
\sinh y &= \sqrt{\cosh^2 y - 1} \\
\sinh y &= \sqrt{x^2 - 1}
\end{aligned}
$$
Bileşke fonksiyonun içindeki ifade:
$$ 1 - \sqrt{x^2 - 1} + \sqrt{x^2 - 1} = 1 $$
Buradan $x=1$ için $h(1)$ değeri hesaplanır:
$$ h(1) = \underbrace{\int_{-\infty}^{\infty} e^{-u^2} du}_{\sqrt{\pi}} - \sqrt{\frac{\pi}{2} \underbrace{\int_0^\pi \sin(u) du}_{-\cos u \big|_0^\pi = 1 + (1) = 2}} - 1 $$
$$ \sqrt{\frac{\pi}{2} \cdot 2} = \sqrt{\pi} $$
$$ h(1) = \sqrt{\pi} - \sqrt{\pi} - 1 \implies h(1) = -1 $$
2. Kısım: $t(-1)$ Değerinin Bulunması
$$
\begin{aligned}
t'(x) &= 2\tan x(1 + \tan^2 x) = 2\tan x \cdot \sec^2 x \\
\frac{8\sin x}{3\cos x + 4\cos^3 x - 3\cos x} &= \frac{8\sin x}{4\cos^3 x} = 2\tan x \cdot \sec^2 x
\end{aligned}
$$
Türev fonksiyonunda yerine yazılıp sadeleştirildiğinde:
$$ t'(x) = 2\tan x \cdot \sec^2 x - 2\tan x \cdot \sec^2 x + \frac{1}{(x+2)^2 + 1} $$
$$ t'(x) = \frac{1}{(x+2)^2 + 1} $$
İntegrali alındığında:
$$ t(x) = \arctan(x+2) + C $$
Başlangıç koşulu ile $C$ sabiti bulunur:
$$ t(-2) = 0 \implies C = 0 $$
$$ t(x) = \arctan(x+2) $$
Buradan $t(-1)$ değeri:
$$ t(-1) = \arctan 1 = \frac{\pi}{4} $$
3. Kısım: $f\left(\frac{\pi}{4}\right)$ Değerinin Bulunması
$$ f^{-1}(1) = \frac{\pi}{4} \implies f\left(\frac{\pi}{4}\right) = 1 $$
4. Kısım: $g(1)$ Değerinin Bulunması
$$ g(x) = \log_{\operatorname{csch} x} \left[ \arcsin(\tanh x) - \operatorname{arccot}(\operatorname{csch} x) + \underbrace{\csc^2 x - \cot^2 x}_{1} - 1 + \underbrace{\frac{2}{e^x - e^{-x}}}_{\operatorname{csch} x} \right] $$
Dik üçgen yardımıyla trigonometrik/hiperbolik dönüşüm:
$$ \arcsin(\tanh x) = y \implies \sin y = \tanh x = \frac{\sinh x}{\cosh x} $$
Bir dik üçgende karşı dik kenar $\sinh x$, hipotenüs $\cosh x$ olarak alınırsa, komşu dik kenar $a$ için Pisagor teoremi uygulanır:
$$ \cosh^2 x = \sinh^2 x + a^2 $$
$$ \sqrt{a^2} = \sqrt{\underbrace{\cosh^2 x - \sinh^2 x}_{1}} \implies a = 1 $$
Aynı üçgenden $\cot y$ değeri yazıldığında:
$$ \cot y = \frac{1}{\sinh x} = \operatorname{csch} x $$
Köşeli parantez içindeki sadeleşmelerden sonra logaritma kısmı şu hali alır:
$$ \log_{\operatorname{csch} x} (\operatorname{csch} x) = 1 $$
İfadenin geri kalanı:
$$ \text{EBOB}(572, 308) = 44 $$
Tüm değerler $g(1)$ için yerine konduğunda sonuç bulunur:
$$ g(1) = 1 + 44 + \underbrace{\sqrt{2-1}}_{1} + 1 = 47 $$
