Aşağıdaki fonksiyonlar, gerekli tanım koşullarını sağlayan en geniş uygun aralıklarda tanımlı ve süreklidir:
$$ f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{(-1)^n x^{2n+1}}{(2n+1)!} + \sin(\pi-x), $$
$$ \begin{aligned} g(x) ={}& \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n\ln(16)}{n!} + \int \frac{dx}{x(x^2+1)} \\[4pt] &- 4^{(x+1)^2-x^2-1} - \ln \left[ \frac{ \arccos\left( 1-2\sin^2\left(\frac{x}{2}\right) \right) }{ \cosh\left(\operatorname{arsinh}(x)\right) } \right] - 2x, \end{aligned} $$
ve
$$ g^{-1}(-2)=2. $$
Ayrıca
$$ h(x) = \lim_{n\to\infty} \left( 1+\frac{x}{n} \right)^n - e^2 + \binom{9}{5} + 4! + \arcsin\left(\frac{1}{x}\right). $$
Buna göre
$$ \left( h\circ g\circ f' \right) \left( \cos^2(t)+\sin^2(t)-1 \right) $$
ifadesinin değerini bulunuz.
Bu soru, lisans yıllarımda hazırladığım fonksiyon soruları arşivinden düzenlenmiştir. İlk bakışta sonsuz seri, integral, ters fonksiyon ve limit işlemlerinin tamamını uzun uzun hesaplamak gerekiyormuş gibi görünse de çözümün temelinde bilinen seri açılımlarını ve temel özdeşlikleri doğru yerde fark etmek yatmaktadır.
Amaç, bütün fonksiyonları genel biçimleriyle hesaplamak değil, bileşke boyunca yalnızca ihtiyaç duyulan değerleri belirlemektir.
