Aşağıdaki fonksiyonlar, gerekli tanım koşullarını sağlayan en geniş uygun aralıklarda tanımlı ve süreklidir:
$$ \begin{aligned}
f(x)
={}&
\left[
\int_{0}^{x}
\frac{dt}{\sqrt{1+t^2}}
-
\ln\left(\sqrt{1+x^2}+x\right)
\right]
\\[4pt]
&\cdot
\cos^2
\left[
\frac{x}{10!}
+
22
\int_{\tan(x)\cot(x)-1}^{1}
\left(
\pi-2\arcsin(t)
\right)\,dt
\right],
\end{aligned} $$
$$ \begin{aligned}
g(x)
={}&
25^{
\displaystyle
\log_{x^2+4x+4}
\left[
\cosh^2(x)
-
\frac{1}{4}
\left(
e^{2x}-2+e^{-2x}
\right)
\right]
}
\\[4pt]
&+
2\int_{0}^{x}
\frac{dt}{
\sec^2(t)-\tan^2(t)+\cos(2t)
}
+
\sqrt{1024}
-
e^{5\ln(2)}
-
5,
\end{aligned} $$
ve
$$ h(x)
=
\arctan\left(\sinh(x)\right)
-
\arcsin\left(\tanh(x)\right)
+
6!\cdot 7!. $$
Buna göre
$$ \left(g\circ f\circ h\right)\left(45^\circ\right) $$
ifadesinin değerini bulunuz.
Bu soruyu 2017 yılında, lisans birinci sınıfın sonunda hazırlamıştım. İlk bakışta oldukça karmaşık görünse de çözümün temelinde standart integral sonuçlarının, hiperbolik özdeşliklerin ve ters trigonometrik fonksiyonlar arasındaki ilişkilerin fark edilmesi yatmaktadır.
Amaç uzun işlemler yapmak değil, karmaşık görünen ifadelerin gerçekte hangi basit yapılara dönüştüğünü görebilmektir.
