Öncelikle verilen fonksiyonları ayrı ayrı sadeleştirelim.
1. \(f\) fonksiyonunun sadeleştirilmesi
$$
f(x)
=
e^{2x}\cosh^2(x)
-
\frac{
\sinh^2(x)e^{(x+1)^2-x^2}
}{e}
$$
Üstteki ifadeyi düzenlersek
$$
(x+1)^2-x^2
=
x^2+2x+1-x^2
=
2x+1
$$
olur. Dolayısıyla
$$
\frac{e^{(x+1)^2-x^2}}{e}
=
\frac{e^{2x+1}}{e}
=
e^{2x}.
$$
Böylece
$$
\begin{aligned}
f(x)
&=
e^{2x}\cosh^2(x)
-
e^{2x}\sinh^2(x)\\
&=
e^{2x}
\left(
\cosh^2(x)-\sinh^2(x)
\right).
\end{aligned}
$$
Hiperbolik özdeşlikten
$$
\cosh^2(x)-\sinh^2(x)=1
$$
olduğuna göre
$$
\boxed{f(x)=e^{2x}}
$$
elde edilir.
---
2. \(t\) fonksiyonunun sadeleştirilmesi
Düzeltilmiş biçimiyle
$$
\begin{aligned}
t(x)
={}&
3\lim_{n\to\infty}
\frac{1}{n}
\sum_{k=1}^{n}
\left(
\frac{k}{n}
\right)^2
\\[4pt]
&+
\lim_{u\to\frac{\pi}{2}^{+}}
\left[
\left(
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{(-1)^{n-1}u^{2n}}{(2n)!}
\right)
\left(
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{
(-1)^{k+1}
\left(
u-1-\frac{\pi}{2}
\right)^k
}{k}
\right)
\right]
\\[4pt]
&-
2\cosh^2
\left(
\frac{x}{2}
\right)
+
\cosh(x)
\end{aligned}
$$
olsun.
İlk limit bir Riemann toplamıdır:
$$
\lim_{n\to\infty}
\frac{1}{n}
\sum_{k=1}^{n}
\left(
\frac{k}{n}
\right)^2
=
\int_0^1 y^2\,dy
=
\frac{1}{3}.
$$
Bu nedenle
$$
3\lim_{n\to\infty}
\frac{1}{n}
\sum_{k=1}^{n}
\left(
\frac{k}{n}
\right)^2
=
3\cdot\frac{1}{3}
=
1.
$$
İkinci limitte
$$
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{(-1)^{n-1}u^{2n}}{(2n)!}
=
-\cos(u)
$$
ve
$$
\sum_{k=1}^{\infty}
\frac{
(-1)^{k+1}
\left(
u-1-\frac{\pi}{2}
\right)^k
}{k}
=
\ln
\left(
u-\frac{\pi}{2}
\right)
$$
olur.
Dolayısıyla limit
$$
\lim_{u\to\frac{\pi}{2}^{+}}
\left[
-\cos(u)
\ln
\left(
u-\frac{\pi}{2}
\right)
\right]
$$
biçimine dönüşür.
$$
v=u-\frac{\pi}{2}
$$
dönüşümü yapılırsa \(v\to0^+\) iken
$$
-\cos\left(\frac{\pi}{2}+v\right)
=
\sin(v)
$$
olduğundan
$$
\lim_{v\to0^+}\sin(v)\ln(v)=0
$$
elde edilir.
Son olarak
$$
2\cosh^2
\left(
\frac{x}{2}
\right)
=
\cosh(x)+1
$$
özdeşliğinden
$$
\begin{aligned}
-2\cosh^2
\left(
\frac{x}{2}
\right)
+\cosh(x)
&=
-\left(\cosh(x)+1\right)+\cosh(x)\\
&=-1
\end{aligned}
$$
olur.
Bütün terimler bir araya getirildiğinde
$$
t(x)=1+0-1
$$
ve dolayısıyla
$$
\boxed{t(x)=0}
$$
bulunur.
---
3. \(h''(0)\) değerinin bulunması
$$
h(x)
=
\arctan
\left(
\frac{\sin(x)-\cos(x)}
{\sin(x)+\cos(x)}
\right)
+
\frac{1}{4}e^{4x}
$$
verilmiştir.
Trigonometrik dönüşümden
$$
\frac{\sin(x)-\cos(x)}
{\sin(x)+\cos(x)}
=
\tan
\left(
x-\frac{\pi}{4}
\right)
$$
olur.
Fonksiyonların uygun birebir aralıklarında
$$
\arctan
\left(
\tan
\left(
x-\frac{\pi}{4}
\right)
\right)
=
x-\frac{\pi}{4}
$$
yazılabilir. Böylece
$$
h(x)
=
x-\frac{\pi}{4}
+
\frac{1}{4}e^{4x}.
$$
Birinci türev
$$
h'(x)=1+e^{4x}
$$
ve ikinci türev
$$
h''(x)=4e^{4x}
$$
olur. Buradan
$$
\boxed{h''(0)=4}
$$
elde edilir.
---
4. \(g(4)\) değerinin bulunması
$$
g(x)
=
\log_{x^2-4x+4}
\left(
\sqrt{
25-9\left(
\coth^2(x)-\operatorname{csch}^2(x)
\right)
}
\right)
-
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{x^{2n}}{2^{4n}(2n)!}
$$
verilmiştir.
Hiperbolik özdeşlikten
$$
\coth^2(x)-\operatorname{csch}^2(x)=1
$$
olduğuna göre karekök içi
$$
25-9=16
$$
ve dolayısıyla
$$
\sqrt{16}=4
$$
olur.
Ayrıca
$$
x^2-4x+4=(x-2)^2.
$$
Seri kısmı ise
$$
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{x^{2n}}{2^{4n}(2n)!}
=
\sum_{n=0}^{\infty}
\frac{
\left(\frac{x}{4}\right)^{2n}
}{(2n)!}
=
\cosh
\left(
\frac{x}{4}
\right)
$$
şeklinde sadeleşir.
Böylece
$$
g(x)
=
\log_{(x-2)^2}(4)
-
\cosh
\left(
\frac{x}{4}
\right).
$$
\(x=4\) için
$$
\begin{aligned}
g(4)
&=
\log_{(4-2)^2}(4)
-
\cosh(1)\\
&=
\log_4(4)-\cosh(1)\\
&=
1-\cosh(1).
\end{aligned}
$$
Dolayısıyla
$$
\boxed{g(4)=1-\cosh(1)}
$$
olur.
---
5. Bileşkenin hesaplanması
Uygun \(x\) değerleri için
$$
\operatorname{arcsech}(x)
=
\operatorname{arccosh}
\left(
\frac{1}{x}
\right)
$$
olduğundan
$$
\operatorname{arcsech}(x)
-
\operatorname{arccosh}
\left(
\frac{1}{x}
\right)
=
0.
$$
Bileşkeyi adım adım uygularsak
$$
f(0)=e^0=1,
$$
$$
t(f(0))=t(1)=0,
$$
$$
h''(t(f(0)))=h''(0)=4
$$
ve son olarak
$$
g(4)=1-\cosh(1)
$$
elde edilir.
Sonuç olarak
$$
\boxed{
\left(
g\circ h''\circ t\circ f
\right)
\left(
\operatorname{arcsech}(x)
-
\operatorname{arccosh}
\left(
\frac{1}{x}
\right)
\right)
=
1-\cosh(1)
}
$$
