Bu soruda birçok üçgen sorusunda yaptığım gibi trigonometriden yararlandım.Üçgen kurallarını kullanarak veya yaratıcı bir ek çizim yaparak çözmeyi denedim ama olmadı. Böyle bir soruda sizin düşünceniz ne olurdu?
4 Cevap
İçteki kırık çizginin köşe noktasını \(P\) ile gösterelim.
Şekilde
$$ AB=AC=CP $$
ve
$$ \angle BAC=90^\circ $$
verilmiştir. Ayrıca
$$ \angle PBC=\angle ACP=\theta $$
olduğu görülmektedir.
\(AB=AC\) olduğundan \(ABC\) üçgeni ikizkenardır. Tepe açısı \(90^\circ\) olduğuna göre taban açıları
$$ \angle ABC=\angle ACB = \frac{180^\circ-90^\circ}{2} = 45^\circ $$
olur.
\(C\) köşesindeki \(45^\circ\) açı,
$$ \angle ACB=\angle ACP+\angle PCB $$
şeklinde ayrılır. Dolayısıyla
$$ 45^\circ=\theta+\angle PCB $$
ve buradan
$$ \angle PCB=45^\circ-\theta $$
elde edilir.
Şimdi \(BPC\) üçgenini inceleyelim. Bu üçgende
$$ \angle PBC=\theta $$
ve
$$ \angle PCB=45^\circ-\theta $$
olduğundan üçüncü açı
$$ \begin{aligned} \angle BPC &= 180^\circ-\angle PBC-\angle PCB\\ &= 180^\circ-\theta-(45^\circ-\theta)\\ &= 135^\circ \end{aligned} $$
olur.
Ortak uzunluk için
$$ AB=AC=CP=a $$
diyelim.
\(ABC\) üçgeni \(A\) köşesinde dik olduğundan Pisagor teoremine göre
$$ \begin{aligned} BC^2 &= AB^2+AC^2\\ &= a^2+a^2\\ &= 2a^2 \end{aligned} $$
ve dolayısıyla
$$ BC=a\sqrt{2} $$
elde edilir.
Şimdi \(BPC\) üçgeninde Sinüs Teoremi'ni kullanalım:
$$ \frac{CP}{\sin(\angle PBC)} = \frac{BC}{\sin(\angle BPC)} $$
Değerleri yerine yazarsak
$$ \frac{a}{\sin\theta} = \frac{a\sqrt{2}}{\sin 135^\circ} $$
olur.
Bilindiği üzere
$$ \sin 135^\circ = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2} $$
olduğundan
$$ \frac{a}{\sin\theta} = \frac{a\sqrt{2}}{\frac{\sqrt{2}}{2}} = 2a $$
elde edilir.
Her iki tarafı \(a\)'ya bölersek
$$ \frac{1}{\sin\theta}=2 $$
ve dolayısıyla
$$ \sin\theta=\frac{1}{2} $$
bulunur.
Şekilden
$$ 0^\circ<\theta<45^\circ $$
olduğu görülmektedir. Bu aralıkta
$$ \sin\theta=\frac{1}{2} $$
eşitliğini sağlayan açı
$$ \boxed{\theta=30^\circ} $$
olur.
Çözüme katkı ver
Cevabını açık ve gerekçeli yaz.
Cevap yazmak için giriş yapmalısınız.