İntegral sorusu

Bu integral için \(x=\tan(u)\) dönüşümünü kullanalım.

Bu durumda

$$ dx=\sec^2(u)\,du $$

ve

$$ x^2+1=\tan^2(u)+1=\sec^2(u) $$

olur.

Bunları integralde yerine yazarsak

$$ \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}\,dx = \int \frac{\tan^2(u)}{(\tan^2(u)+1)^2} \sec^2(u)\,du $$

elde edilir.

\(\sec^2(u)=\tan^2(u)+1\) olduğundan sadeleştirme yaparsak

$$ \int \frac{\tan^2(u)}{\tan^2(u)+1}\,du $$

kalır.

Şimdi

$$ \tan^2(u)=\tan^2(u)+1-1 $$

yazalım. Böylece

$$ \int \frac{\tan^2(u)+1-1}{\tan^2(u)+1}\,du = \int \left( 1-\frac{1}{\tan^2(u)+1} \right)\,du $$

elde edilir.

\(\tan^2(u)+1=\sec^2(u)\) olduğundan

$$ \int \left( 1-\frac{1}{\sec^2(u)} \right)\,du = \int \left( 1-\cos^2(u) \right)\,du $$

olur.

\(1-\cos^2(u)=\sin^2(u)\) özdeşliğini kullanırsak

$$ \int \sin^2(u)\,du $$

integraline ulaşırız.

Yarım açı özdeşliğine göre

$$ \sin^2(u)=\frac{1-\cos(2u)}{2} $$

olduğundan

$$ \int \sin^2(u)\,du = \int \frac{1-\cos(2u)}{2}\,du = \frac{u}{2} - \frac{\sin(2u)}{4} + C $$

elde edilir.

Şimdi tekrar \(x\) değişkenine dönelim. \(x=\tan(u)\) olduğundan

$$ u=\arctan(x) $$

ve

$$ \sin(2u) = \frac{2\tan(u)}{1+\tan^2(u)} = \frac{2x}{1+x^2} $$

olur.

Sonuç olarak

$$ \boxed{ \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}\,dx = \frac{1}{2}\arctan(x) - \frac{x}{2(x^2+1)} + C } $$