Başlangıç değer problemini inceleyin:
$$y^{\prime}=\sqrt{|y|}, \qquad y(0)=0.$$
Sağ taraf sürekli olmasına rağmen çözümün neden tek olmadığını gösterin. Yerel Lipschitz koşulunun teklik kanıtında üstlendiği rolü açıklayın.
1 Cevap
Kabul Edilen Cevap
$y(t)\equiv0$ bir çözümdür. Her $c\ge0$ için
$$y_c(t)=\begin{cases}0,&t\le c,\\(t-c)^2/4,&t>c\end{cases}$$
fonksiyonu da başlangıç koşulunu ve diferansiyel denklemi sağlar. Böylece sonsuz sayıda çözüm vardır.
$f(y)=\sqrt{|y|}$ fonksiyonu $y=0$ çevresinde Lipschitz değildir. Picard–Lindelöf kanıtındaki Grönwall eşitsizliği iki çözüm arasındaki farkı sıfıra zorlamak için Lipschitz tahminini kullanır; bu tahmin olmayınca süreklilik varlığı desteklese de teklik sağlamaz.
Çözüme katkı ver
Cevabını açık ve gerekçeli yaz.
Cevap yazmak için giriş yapmalısınız.